Ebene Aus 3 Punkten Rechner

Ebenen in der Vektorrechnung

Parameterform

Die Parameterform einer Ebene wird durch einen Stützvektor und zwei Richtungsvektoren definiert:

``` E: r = a + s * v + t * w ``` * r: Ortsvektor eines Punktes auf der Ebene * a: Stützvektor * v, w: Richtungsvektoren

Koordinatengleichung

Die Koordinatengleichung einer Ebene im dreidimensionalen Raum lautet:

``` ax + by + cz + d = 0 ``` * (a, b, c): Normalenvektor der Ebene * d: Abstand der Ebene vom Ursprung

Ableitung der Koordinatengleichung

Sei E eine Ebene mit Normalenvektor (a, b, c) und Abstand d vom Ursprung. Dann gilt für jeden Punkt P(x, y, z) auf E:

``` a * x + b * y + c * z = d ``` Denn der Abstand zwischen P und der Ebene ist gleich |(a * x + b * y + c * z - d) / sqrt(a^2 + b^2 + c^2)|. Da P auf E liegt, ist dieser Abstand gleich null, was zu obiger Gleichung führt.

Schlussfolgerung

Die Parameterform und die Koordinatengleichung sind zwei wichtige Darstellungen von Ebenen in der Vektorrechnung. Sie finden Anwendung in verschiedenen Bereichen wie Geometrie, Physik und Ingenieurwesen.